A differenciahányados geometriailag a két pontot összekötő húr meredeksége, míg a differenciálhányados az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjének meredekségét adja meg: Olyan x=a helyen, ahol balról és jobbról nem ugyanaz a függvény érvényes, a differenciahányados határértékét balról és jobbról is számolni kell. Ha a két határérték megegyezik, létezik a határérték, ellenkező esetben nem: Feladatok között előfordul még az f(x) függvény differenciahányados függvénye is. Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciahányados függvény is szakaszokból áll. A differenciahányados függvény az x=a helyen sosem értelmezhető, mivel a nevező nem lehet 0. Elemi függvények deriváltjai Egy elemi függvény deriváltját (deriváltfüggvényét, azaz differenciálhányadosfüggvényét) a határértékszámítás eszközeivel egy általános x=a helyen tudjuk levezetni. Könyv: Urbán János - Határérték-számítás. Mivel az x=a hely egy általános hely, a teljes függvényre érvényes lesz az eredmény. Szakaszokból álló f(x) függvény esetén a differenciálhányados függvény is szakaszokból áll.
Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt $k$-adfokú Taylor polinomja: \( T(x) = \sum_{n=0}^k \frac{ f^{(n)}(a)}{n! }(x-a)^n \) Taylor sor Legyen $f(x)$ akárhányszor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt Taylor sora: \( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(a)}{n! }(x-a)^n \) Nevezetes függvények Taylor sora Az $e^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények Taylor sorai: \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n! } x^n} \quad \ln{x}=\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n} \) \( \cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(-1)^n}{ (2n)! } x^{2n}} \quad \sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{ (-1)^n}{ (2n+1)! } x^{2n+1}} \) 1. Oldjuk meg az alábbi feladatokat: a) Mi lesz az \( f(x)=x^2+5x-7 \) függvények a deriváltja az \( x_0=2 \)-ben? b) Mi lesz az \( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \) függvények a deriváltja az \( x_0=1 \)-ben? c) Mi lesz az \( f(x)=-4x^2+5x \) függvények a deriváltja az \( x_0=-3 \)-ban? 2. Oldjuk meg az alábbi feladatokat: a) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban?
lokális minimum esetén a függvényérték csökkenést követően növekedik, lokális maximum esetén a függvényérték növekedést követően csökken, - függvény konvexitása (konvex fv. görbe alulról nézve gömbölyű, a konkáv felülről): - függvény inflexiós pontja: elégséges feltételt is nézni kell (a második derivált váltson előjelet a vizsgált helyen)! Pontbeli érintő és normális Az f(x) függvény x=a pontbeli első deriváltjának értéke a függvénygörbe érintőjének meredekségét adja meg, így az érintő egyenlete: Az f(x) függvény x=a pontbeli érintőjére merőleges az ugyanezen a ponton átmenő normális, melynek egyenlete: Vegyük észre, hogy a két meredekség szorzata -1: Pontelaszticitás A függvény x=a pontjában a pontelaszticitás számértéke százalékosan megadja, hogy a független változó 1%-os fajlagos megváltozásához a függvényérték hány százalékos fajlagos megváltozása tartozik. A pontelaszticitás számítási képlete határértékszámítással adódik: Példa 1: Ha x=3 helyen E(3)= -2, akkor az x=3 helyen x 1%-os növelésével a függvényérték várhatóan 2%-kal csökken!
A termék mérete: 10 x 15 cm. Az anyag vastagsága 3 mm. A képeslapra maximum 60 karakternyi szöveg kérhető. A termék a képeslapot tartalmazza. Az állvány és a virágok nem részei az árnak! Tulipán egyedi üzenettel Ajándékozz maradandó, évekig kitartó virágot Nőnapra, Anyák napjára, ballagásra vagy akár születésnapra. Amellett, hogy sosem hervad el még személyre is szabható! Kérd egyedi névvel és ajándékozd a számodra legkedvesebbnek! A termék mérete: 20 x 7 cm. Az anyag vastagsága: 3 mm. A termékre 20-20 karakternyi szöveget kérhetsz, ennyi fér rá szépen. A termék a tulipánt tartalmazza. A korongok és a virágok nem részei az árnak! 1 290, 00 Ft 1 096, 50 Ft Ajándéktábla Tanároknak, Tanítóknak Ezzel a humoros táblával meghálálhatjátok tanáraitoknak a törődést és a sokéves munkát. Ha valami egyedi ötletre vágytok, ami eltér a megszokottól, ezt a kis meglepetést ajánljuk. Egyedi ballagasi ajándék . A termék 3 méretben rendelhető: A/5, A/4, A/3. A méret kiválasztásához használd a legördülő menüt. 3 520, 00 Ft 2 992, 00 Ft
Ha tetszik oszd meg: Ballag a csemete. Lehet óvodai, általános vagy középiskolai, egyetemi, fontos mérföldkő a család életében. Lepje meg egy egyedi fotós ajándékkal, hogy emlékezetes maradjon mindíg. A tanárok is biztosan örülnének egy bögrének, órának vagy egyéb ajándéknak, amin a gyerekek fotója van, így mindíg emlékeztetni fogja kedvenc osztályára, tanulóira. A szerenádozás az egyik legszebb hagyomány a középiskolai évek végén. A végzős tanulók végigjárják a tanárokat és szerenádot énekelnek nekik, emlékezetessé téve a búcsúzást. Tegyétek még emlékezetsebbé úgy, hogy minden tanuló egyforma pólót visel, az osztály fotójával! Egy fényképes bögre mindig egy biztos befutó ajándék, mindenki szereti. Ballagási ajándék – AjandekGuru. Pláne, ha kedvenc osztálya képe van rajta, mindig ebből fogja inni a teáját. !
Rendezés Termékszám db/oldal Cserepes virág - egyedi szöveggel Ajándékozz maradandó, évekig kitartó virágot Nőnapra, Anyák napjára, ballagásra vagy akár születésnapra. Amellett, hogy sosem hervadnak el még személyre is szabhatók! Kérd egyedi névvel és ajándékozd a számodra legkedvesebbnek! A termék mérete (típustól függően): 8-10, 5 cm x 11-12 cm. Az anyag vastagsága: 6 mm. A termékre maximum 30-35 karakternyi szöveget kérhetsz, ennyi fér rá szépen. Elkészülési idő: 1-2 hét. Amennyiben kevesebb, mint 1 héten belül szükséged van a termékre, sürgősségi felárral tudom elkészíteni, ami plusz 1500 Ft. A sürgősségi rendelést a házhozszállítási módoknál -rendelésleadás közben- választhatod ki. Egyedi igény esetén, kérlek, vedd fel velem a kapcsolatot az email-címen. 2 190, 00 Ft 1 861, 50 Ft Autós tortabeszúró Feldobnád valamivel a barátaid, szeretteid szülinapi tortáját, de már unod a gyertyákat és az ehető csillámport? Ezért készítette el a Faműves csapata ezeket a különleges tortabeszúrókat, amik nem csak gyönyörű ékei lehetnek a finomságoknak (akár hosszú éveken át), de emlékként is megőrizheted őket.