4. Az x 2 – 6x + 7 = 0 egyenlet gyökeinek kiszámítása nélkül írjuk fel egy olyan másodfokú egyenletet, amelynek a gyökei az adott egyenlet a) gyökeinek 5-szörösei; b) gyökeinél 5-tel nagyobbak! Megoldás: Az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenleben szereplő paraméterek: Számítsuk ki az egyenlet diszkriminánsát: D = b 2 - 4ac = (-6) 2 - 4×1×7 = 36 - 28 > 0 Az egyenletnek van megoldása. Gyökeire igaz, hogy x 1 + x 2 = 6 és x 1 x 2 = 7 A keresett egyenlet legyen y 2 + by + c = 0 a / A keresett egyenlet gyökeinek összege egyrészt igaz, y 1 + y 2 = - b, másrészt mivel a gyökei 5-ször akkorák, y 1 + y 2 = 5x 1 + 5x 2 = 5( x 1 + x 2) = 5×6 = 30. Tehát b = - 30. A keresett egyenlet gyökeinek szorzata egyrészt y 1 y 2 = c, másrészt mivel a gyökei 5-ször akkorák, y 1 y 2 = 5x 1 × 5x 2 = 25 x 1 x 2 = 2 5×7. Tehát c = 175. A keresett egyenlet y 2 + 30y + 175 = 0, ill. a( y 2 + 30y + 175) = 0 ahol a ≠ 0 b / A keresett egyenlet gyökeinek összege egyrészt igaz, y 1 + y 2 = - b, másrészt mivel a gyökei 5-tel nagyobbak, y 1 + y 2 = x 1 +5 + x 2 +5 = x 1 + x 2 + 10 = 6 + 10= 16.
1) Melyik lehet az alábbi másodfokú egyenlet Diszkriminánsa? ax2+bx+c=0 a) a2-4bc b) b2-4ac c) b2-4a d) c2-4ab 2) Hány megoldása van az alábbi egyenletnek a valós számok halmazán? x2=9 a) 0 b) 2 c) 1 3) Az alábbi egyenletben mennyi az elsőfokú tag együtthatója? -2x2-3x+8=0 a) 2 b) 3 c) -3 d) 8 e) -2 f) 2 4) x1=2, x2=3 egy másodfokú egyenlet gyökei. Melyik ez az egyenlet? a) x2-5x+6=0 b) x2+5x+6=0 c) x2+6x+5=0 5) D=0 esetén hány valós megoldása van a másodfokú egyenletnek? a) 1 b) 2 c) 0 6) Hogy néz ki az alábbi hozzárendeléssel megadott függvény grafikonja? x->x2-5x+6 a) Egy egyenes b) Egy parabola c) Egy V betű 7) Hogyan nevezzük a következő másodfokú egyenletet? x2-9x=0 a) teljes másodfokú egyenlet b) hiányos másodfokú egyenlet c) abszolút másodfokú egyenlet 8) Milyen szám kerüljön c helyére, hogy az egyenletnek 1 megoldása legyen? x2-4x+c=0 a) 1 b) 2 c) 4 d) 0 9) Milyen szám kerüljön b helyére, hogy az egyenletnek 1 megoldása legyen? x2-bx+9=0 a) 4 b) 9 c) 6 10) Az alábbi egyenletben mennyi a másodfokú tag együtthatója?
Nézünk néhány paraméteres másodfokú egyenletet, kiderítjük, hogy milyen paraméterre van az egyenletnek nulla vagy egy vagy két megoládsa. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa. Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd. Ez a legjobban áttekinthető, értelmezhető, használható és a legolcsóbb tanulási lehetőség. Sokkal jobb, mint bármelyik egyetemi előadásom. Nagyon jó árba van, valamint jobb és érthetőbb, mint sok külön matek tanár. Otthonról elérhető és olcsóbb, mint egy magántanár és akkor használom, amikor akarom.
Ha a diszkrimináns érték negatív, akkor egy komplex megoldáspárt kapunk. Hány megoldás létezik, ha a diszkrimináns negatív? Meghatározza a másodfokú egyenlet megoldásainak számát és típusát. Ha a diszkrimináns pozitív, akkor 2 valós megoldás létezik. Ha 0, akkor 1 valós ismétlődő megoldás van. Ha a diszkrimináns negatív, akkor 2 komplex megoldás létezik (de nincs valódi megoldás). Melyik képletnek nincsenek valódi gyökerei? A másodfokú egyenlet ax2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ahol a ≠ 0.... - Ha b2 – 4ac = 0, akkor a másodfokú függvénynek egy ismétlődő valós gyöke van. - Ha b2 – 4ac < 0, akkor a másodfokú függvénynek nincs valódi gyöke. Mik azok a valódi és különálló gyökerek? Ha egy egyenletnek valós gyökerei vannak, akkor az egyenlet megoldásai vagy gyökerei a valós számok halmazához tartoznak. Ha az egyenletnek különböző gyökerei vannak, akkor azt mondjuk, hogy az egyenletek összes megoldása vagy gyökere nem egyenlő. Ha egy másodfokú egyenlet diszkriminánsa 0-nál nagyobb, akkor valódi és különálló gyökerei vannak.
Pontszám: 4, 4/5 ( 7 szavazat) Ezért a diszkrimináció értéke -20. Mennyi az x2 10x 7 0 egyenlet diszkriminánsának értéke? Diszkriminans (D) = b² - 4ac. Hogyan számítja ki a diszkrimináns értékét? A diszkrimináns a másodfokú képlet négyzetgyök szimbólum alatti része: b²-4ac. A diszkrimináns megmondja, hogy van-e két megoldás, egy megoldás, vagy nincs-e megoldás. Mi a másodfokú képlet diszkriminánsa? A másodfokú képlet diszkriminánsa a gyök alatti szakasz. Megmondja, hány valós megoldás van egy adott másodfokúra. Mi a diszkriminánsa egy másodfokú egyenletnek, amely nagyobb nullánál? Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, ez azt jelenti, hogy a másodfokú egyenletnek két valós, különálló (különböző) gyöke van. x 2 - 5x + 2. Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, ez azt jelenti, hogy a másodfokú egyenletnek nincs valódi gyöke. 41 kapcsolódó kérdés található Mi van, ha D kisebb, mint 0? Ha egy másodfokú függvény diszkriminánsa kisebb, mint nulla, akkor ennek a függvénynek nincs valódi gyöke, és az általa képviselt parabola nem metszi az x tengelyt.
Figyeljük meg, hogy a törtképlet számlálója nem függ attól, épp melyik oldalhoz tartozó magasságot számítjuk: a számláló az paraméterekre nézve teljesen szimmetrikus. Ennek így is kell lennie, hisz ha jobban megnézzük (pontosabban c-vel szorzunk és osztunk 2-vel), a számláló a háromszög területének a négyszerese. Az általános magasságtétel – amely tompaszögű háromszögekre ugyanúgy érvényes, mint a hegyesszögűekre és a derékszögűekre – bizonyítása a Pitagorasz-tételen alapulhat, és egyik fontos matematikai alkalmazását a Hérón-képlet levezetésében találjuk, mely utóbbi bizonyítása az általános magasságtételből tulajdonképp csak annyi, hogy egy új változót vezetünk be (az félkerület et). Lásd még Szerkesztés Hérón-képlet Háromszög magassága Irodalom Szerkesztés Dr. Gerőcs László: Irány az egyetem! – 1995. Példatár. Nemzeti tankönyvkiadó, Bp., 1995. ISBN 9631861880 [E könyvben a Pitagorasz-tételre alapozó bizonyítás is megtalálható. ]
A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének hozzáírt körének a középpontja (a háromszög leghosszabb oldalából származó oldalhoz írva), ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit. A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén. Magasságtétel Szerkesztés A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis. Legyen az derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az ( szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis, ami ekvivalens az állítással.
Hogyan rajzoljuk meg egy háromszög magasságvonalait, magasságpontját? Semmi hókuszpókusz, csak elmagyarázom...
Mi is a magasságvonal, ez a háromszög csúcsából a szemközti oldalra bocsátott merőleges egyenes. Tehát, a csúcsból húzzunk egy olyan vonalat, ami az oldallal derékszöget zár be, (90 fokot) A magasság, a csúcs és az oldal távolsága. Sokszor előfordul geometriai feladatokban, Pitagorasz tételének gyakorlásánál stb. Minden oldalhoz tartozik egy magasság, amit általában úgy jelölünk, hogy egy kis m betű, s alsó indexben az oldal, amihez tartozik. Pl. : az a oldalhoz ma magasság tartozik. A magasságvonalak egy pontban metszik egymást, s ez a háromszög magasságpontja. Az ábrákon látszik, hogy a magasságvonal lehet a háromszögön kívül és belül is, s egy csúcspontban is.
Szükség van arra is, hogy a szögmérő műszerek fekvőtengelyének magasságát meghatározzuk. Ez egy közeli magassági alappontra tett szintezőléc vízszintes távcsőhelyzetben történő mérésével ("szintezésével") történhet. Fontos, hogy utóbbi műveletet két távcsőállásban végzett méréssel ellenőrizzük. A számítás lépései: Az ABP vízszintes síkban lévő háromszög hiányzó két oldalának számítása szinusz-tétellel Az A és a B pontokon álló műszerek fekvőtengelyének és a P pont magasságkülönbségének számítása a megfelelő pontokra illeszkedő függőleges síkban található derékszögű háromszögek alapján A P pont magassága az A és a B pontról is levezetve A módszer előnye, hogy a P pont magasságát mind az A, mind a B pontról is levezethetjük. A két levezetés nem teljesen független, de általában megfelelő ellenőrzést jelent. Az építészmérnöki gyakorlatban szokásos épületmagasságmérési feladatok ezzel a módszerrel jellemzően néhány centiméteres pontossággal elvégezhetők. Megjegyezzük, hogy speciális feltételek megléte esetén ugyanezzel a módszerrel a pontosság milliméteres vagy akár tizedmilliméteres nagyságrendűre fokozható.