Definíció: Az f: R→R, f(x) elsőfokú függvény általános alakja: f(x)=ax+b, ahol a és b valós értékű paraméterek. (a∈ℝ és a≠0, b∈ℝ. ) Az elsőfokú függvény grafikonja egy olyan egyenes, amely nem párhuzamos sem az x sem az y tengellyel. Az a paramétert az egyenes meredekségének nevezzük, a b paraméter pedig megmutatja, hogy hol metszi az egyenes az y tengelyt: a (0;b) koordinátájú pontban. Az elsőfokú függvényt grafikonja után lineáris függvénynek is szokták nevezni. (Linea=vonal, egyenes). Viszont nem minden lineáris függvény elsőfokú. Az f(x)=c nullad fokú függvény is lineáris függvény, grafikonja olyan egyenes, amely párhuzamos az x tengellyel. Az elsőfokú függvény grafikonjának általános egyenlete tehát: y=ax +b. Egyenes arányosság függvény grafikonja Ha az elsőfokú függvénynél b=0, akkor a függvény szabálya: f(x)=ax. Ekkor az egyenes arányosság függvényét kapjuk. Ennek grafikonja egy, az origón átmenő egyenes. A következő elsőfokú függvény paraméterei: a=-0. 1 x függvény excel. 5 (meredekség), b=+3 Ennek megfelelően a függvény szabálya: f(x)=-0.
3 A deriváltfüggvény meghatározása Mivel az x 0 tetszőleges (értelmezési tartománybeli) pont volt, ezért: f'(x)=3x 2. Tétel: Az f(x) = x 3 függvény deriváltfüggvénye az f'(x)=3⋅x 2. Ez a tétel általánosítható: Az f(x) = x n függvény deriváltfüggvénye az f'(x)=n⋅x n-1. 3. Következmény A hatványfüggvényre kapott összefüggést alkalmazhatjuk arra az esetre is, ha a kitevő negatív egész szám. 1 x függvény 9. Negatív egész kitevő esetén: Ha \( f(x)=\frac{1}{x} =x^{-1}\) ( x≠0), akkor \( f'(x)=(x^{-1})'=-1·x^{-2}=-\frac{1}{x^2} \) . Általánosítva: \( f'(x)=\left(\frac{1}{x^n} \right) '=(x^{-n})'=-n·x^{-n-1}=-\frac{n}{x^{(n+1)}}. \) A hatványfüggvényre kapott összefüggést alkalmazhatjuk arra az esetre is, ha a kitevő pozitív racionális szám. Így megkapjuk a gyökfüggvények deriváltjait. Ha \( f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} \) akkor. \( f'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \) . Általánosítva: Ha \( f(x)=x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^p} \) , akkor \( f'(x)=\left( x^{\frac{p}{q}}\right) '=\frac{p}{q}x^{\left(\frac{p}{q}-1\right)}=\frac{p}{q}x^{\frac{p-q}{q}}=\frac{p}{q\sqrt[q]{x^{q-p}}} \) .
Tétel: f(x)=x n ( n pozitív természetes szám) függvény minden valós x helyen deriválható, és A bizonyítást teljes indukcióval végezzük: • n=1 esetén igaz az állítás: x'=1 • Tegyük fel, hogy n -re igaz az állítás, és mutassuk meg, hogy n+1 -re is igaz. Az indukciós feltétel: Mivel x n +1=x ∙x n, használhatjuk a szorzat deriválására vonatkozó szabályt: n -ről n+1 -re bizonyítottuk a formula helyességét, tehát minden pozitív természetes kitevőre is igaz. (Más eszközökkel valós kitevőre is belátható az összefüggés. ) Alkalmazás • Szélsőértékfeladatok megoldása. • Függvény menetének vizsgálata. • Fizikában grafikonok vizsgálata Feladatok: 1. Írjuk le a f(x)=3x-x 3 függvény menetét, ha a valós számok halmazán van értelmezve! 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényt! 3. Adjuk meg a következő függvény értékkészletét! 11. Függvények vizsgálata elemi úton és a differenciálszámítás felhasználásával | Sulinet Hírmagazin. Konfár László
Függvénytranszformációk
Egészrész-, és törtrészfüggvény Egészrész fogalma, jelölése Az x valós szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely kisebb az x -nél vagy egyenlő vele. Az egészrész jelölése: [ x] (olvasd: " x egészrésze"). Egészrész-függvény bevezetése Például: [2, 1] = 2; [3, 98] = 3; [ -0, 2] = -1; [ -7, 8] = -8; [5] = 5. A definíció alapján: x - 1 < [ x] ≤ x. 1 x függvény ábrázolása. Az egészrész-függvény az alábbi: f: R → R, f ( x) = [ x]. A nyíldiagram nagyon jól szemlélteti az egészrész-hozzárendelést.
Feladat: Határozzuk meg az f(x) = x 3 függvény x 0 =1. 5 pontjába húzható érintőjének egyenletét! Megoldás: Az érintési pont tehát: E(1. 5; 3. 375). Az f(x) = x 3 függvény mindenhol deriválható és deriváltfüggvénye: f'(x)=3⋅x 2. A derivált függvény szabályába behelyettesítve az x=1. 5 értéket, kapjuk f'(1. 5)=3⋅(1. 5) 2 =3⋅2. 25=6. Hatványfüggvények deriváltja | Matekarcok. 75. Így megkaptuk az f(x) = x 3 függvény x 0 =1. 5 pontjába húzható érintőjének a meredekségét: m=6. 75. Az E(1. 375) ponton áthaladó m=6. 75 meredekségű egyenes egyenlete: y-3. 375=6. 75(x-1. 5)=6. 75x-6. 75. 4. Hatványfüggvények és deriváltjaik Függvény neve Függvény Derivált függvény Konstans függvény k(x)=c k'(x)=0 Elsőfokú függvény: l(x)=mx+b l'(x)=m Másodfokú függvény: m(x)=x 2 m'(x)=2⋅x Hatvány függvény: h(x)=x n h'(x)=n⋅x n-1 Négyzetgyök függvény: \( g(x)=\sqrt{x} \) \( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \) N-edik gyök függvény \( n(x)=\sqrt[n]{x} \) \( n'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \) Fordított arányosság: \( f(x)=\frac{1}{x} \) \( f'(x)=-\frac{1}{x^2} \)
RTL-csoport Stabil piacvezető a tévétársaság, az RTL Klub jóformán minden este verte a TV2-t, a Cool és a Film+ vezetik a középmezőnyt, az RTL II-re tett Való Világ 6-tól pedig az várható, hogy legalább a reality időtartama alatt felhozza a kábeltévét 4-5 százalékra (az adások alatt ez jóval magasabb is lehet). A VV6-ot az RTL eleve a kisebb kábeltévére szánta, és ennek legfőbb oka, hogy szeretné, ha minden jelentősebb szolgáltató felvenné különféle csomagjába, így jutva újabb bevételhez. Ennek megfelelően a már január 12-én elinduló Való Világ különös módon lemond az emelt díjas SMS folyamatos tarhálásáról, és a kábelszolgáltatótól kapott pénzekre, illetve a reklámidőre épít. Zalaegerszeg.hu • Elkészült az új csatorna és az útburkolat a Mátyás király utcában. Kérdés, sikerül-e kisebb lefedettséggel is nagy nézettséget hoznia a VV6-nak (a Digivel nincs paktum), és felkúszik-e az RTL II középmezőny élére ezzel az itthon sokat szidott, de annál nézettebb realityvel. Már a hatodik Való Világ közeleg Fotó: Hajdú D. András - Origo Az anyacsatornán egyelőre jegeli az RTL a már megvett sztáros-éneklős formátumot, ahol a magyar énekesek mást alakítva lépnek fel – ennek oka, hogy a TV2 fürgén és furfangosan lekoppintotta a műsort, és szép nézettséggel küldte képernyőre a Sztárban sztárt.
Hajdúböszörmény - A projekt keretében összesen 4, 554 km vízelvezető árok, csatorna épül. A város belterületi csapadékvíz-elvezetésének fejlesztésére 2012 nyarán közel 260 millió forint támogatást nyert. A több, mint 28 milliós önerő csökkentése érdekében benyújtott pályázata is nyert, ezért annak 60 százalékát a Belügyminisztérium hozzátette. Mint azt Kiss Attila polgármester hétfői sajtótájékoztatóján kiemelte, a jelenlegi csapadékvízelvezető rendszer nem képes a megnövekedett vízmennyiség megfelelő kezelésére, és elvezetésére, ami nemcsak a belterületi létesítményeket veszélyezteti, rontja az életminőséget, hanem jelentős anyagi károkat is eredményez, amely az önkormányzat, a lakosságot, illetve az érintett vállalkozásokat egyaránt terheli. 2014 Új Csatorna: A Disney Csatorna Törli A Zsenipalántákat - Starity.Hu. A pályázat alapját a vízgyűjtő gerinccsatornák megvalósítása adja, így lehetővé válik az önkormányzat számára a későbbiekben saját erőből további csatornaszakaszokat kiépíteni - lényegesen kevesebb költséggel. A városvezető elmondta, hogy a munkálatokkal 326 hektár területet védenek meg a további belvízkártól, a város jelentős részének vízelvezetési problémája megoldódik.
Gyors ütemben készül az új szennyvízrendszer, a vezetékek fele, mintegy 45 kilométer csatorna már megépült. Gyors ütemben készül az új szennyvízrendszer, a vezetékek fele, mintegy 45 kilométer csatorna már megépült. Az elkészült szakaszok műszaki ellenőrzése jelenleg is folyik, s a szigorú kontroll biztosítja, hogy a rendszer hosszú időn át szolgálja problémamentesen az érintett kerületi lakosokat. A korszerű csatornára az üzembe helyezés után, várhatóan ősztől lehet csatlakozni, de egyre több szakaszon kezdhető el a telken belüli hálózat terveztetése. Cikkünkben a lakossági rákötésekkel kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat foglaltuk össze. 2014 új csatorna 3. A szennyvízcsatornázás eredményeként Pestszentlőrincen és Pestszentimrén több mint 7000 család kapcsolódhat a fejlesztés során megépülő korszerű szennyvízhálózathoz. Az utcai gerincvezetékhez a háztartások – gravitációs bekötés esetén – a házi bekötőcsatornán keresztül tudnak csatlakozni, amelyet a kivitelező cég a beruházás keretében a telekhatáron belül számított egy méterre épít ki.
Ugyancsak lesz újabb évadnyi Fölszállott a páva, ennek nagy részét már fel is vette a közmédia. A Dal 2013-ban is nézett volt, 2014-ben is az lesz Forrás: MTI/Mohai Balázs Napi magyar szappanopera továbbra sem várható az M1-re, noha a Marslakók 2012-es indulása idején még azt nyilatkozták az illetékes vezetők, hogy a magyar közszolgálati televíziónak szüksége van napi, saját gyártású sorozatra (a Marslakókat 2012 júliusának végén elkaszálták, másfél éve csend van ebben a témában). 2014 új csatorna letrehozasa. Az Origo úgy tudja, hogy szinopszisok érkeztek bőven, van köztük aktuális, napjainkban játszódó, van történelmi sorozatterv is, de a választásokig senki nem foglalkozik ezekkel, így ősz előtt semmiképp nem lesz napi széria. Az M2-re több saját gyártású, mai gyerekeknek készülő, hazai műsort várunk az unásig ismételt Nils Holgersson helyett, az M3 pedig simán elérhet 2-3 százalékos nézettséget teljes lakosságban, mivel nosztalgiára mindig hajlamos az idősebb korosztály - példa erre az Önök kérték korábbi kedveltsége.