A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. A háromszög köré írható kör A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, s ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. A háromszögbe írható kör A háromszög szögfelező egyenesei egy pontban metszik egymást, s ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja.
Szerző: zagjudit A háromszög esetén a következőket tartalmazza: magasságvonalak, magasságpont (zöld) súlyvonalak, súlypont (piros) oldalfelező merőlegesek, körülírható kör (kék) belső szögfelezők, beírható kör (rózsaszín) külső szögfelezők, hozzáírt körök (lila) Feuerbach kör (narancssárga) Euler egyenes (fekete)
A háromszögnek 3 hozzáírt köre van. Tétel: A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak hosszának arányában osztja két részre. Súlyvonal: A háromszög egy csúcsát a szemközti oldal oldalfelező pontjával összekötő egyenes. Tétel: A háromszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Ez a súlypont. A súlyvonalak harmadolják egymást A háromszög súlyvonala felezi a háromszög területét Középvonal: A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakasz. Tétel: A háromszög bármely középvonala párhuzamos a nem érintett oldallal, és fele olyan hosszú. Euler-egyenes: A háromszög magasságpontja, súlypontja és a köré írható körének középpontja egy egyenesen vannak, és a súlypont mindig harmadolja az MK szakaszt (K-hoz van közelebb az S). Szimedián-egyenes: Ha a súlyvonalat a szögfelezőre tükrözzük, akkor kapjuk meg a háromszög szimedián-egyenesét. Tétel: A háromszög három szimedián-egyenese egy pontban metszi egymást. Feuerbach kör: kilencponti kör A háromszög három oldalfelező pontja, a magasságpontjainak talppontjai, illetve a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai mind egy körön helyezkedik el, ezt a kört nevezzük a Feuerbach körnek.
A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja. Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek területének kiszámolására. És itt egy kevésbé ismert képlet is:
Tétel: A háromszög bármely középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza fele a harmadik oldal hosszának. A háromszög súlyvonalai Definíció: Egy háromszög súlyvonalának a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt nevezzük. Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást. A súlypont a súlyvonalakat 2: 1 arányban osztja két részre. (A hosszabb szakasz a csúcs felől van).
Okostankönyv
Harmadik példaként egy bonyolultnak látszó egyenletet oldunk meg. Mielőtt nekilátnánk a megoldásnak, máris elmondhatjuk, hogy csak a pozitív számok között érdemes megoldást keresnünk. Ennek az az oka, hogy csak pozitív számoknak van logaritmusuk, és az egyenlet bal oldalán álló első tag éppen az x logaritmusával egyenlő. Kétféleképpen is elindulhatunk. Mindkét megoldás a logaritmus azonosságait használja. Lássuk az első indítását és a további lépéseket is! A szorzat logaritmusára vonatkozó azonosságot alkalmazzuk az egyenlet bal oldalán álló első három tagra. Használjuk az azonos alapú hatványok szorzására vonatkozó azonosságot, majd a hányados logaritmusára vonatkozó azonosságot alkalmazzuk. A kettes alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton, ezért az egyenlőség pontosan akkor lehetséges, ha ${x^2} = 64$. Egy pozitív és egy negatív gyököt kapunk, de az eredeti egyenletnek csak pozitív szám, vagyis a 8 lehet a megoldása. Másodfokú egyenlet - Matematika kidolgozott érettségi tétel - Érettségi.com. Behelyettesítéssel ezt is ellenőrizhetjük. A másik megoldás indításában a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot alkalmazzuk a második, harmadik és negyedik tagra.
A továbbiakban az előzőekhez hasonló példákat láthatsz, most már szöveges feladat nélkül. Vizsgáljuk meg, hogy hányféle megoldást várhatunk egy-egy esetben! Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket! 1. példa: ${x^2} - 3 = \left| x \right| - 1$ (x négyzet mínusz három egyenlő x abszolút érték mínusz egy) Ábrázoljuk az egyenlet két oldalát, mint két függvényt! A grafikonok két pontban metszik egymást, ezért az eredeti egyenletnek is két megoldása van: ${x_1} = \left( { - 2} \right)$ és ${x_2} = 2$. Mindkét gyököt ellenőrizzük. Ha ${x_1} = \left( { - 2} \right)$, akkor ${\left( { - 2} \right)^2} - 3 = \left| { - 2} \right| - 1$, azaz $4 - 3 = 2 - 1$, vagyis $1 = 1$ Ha ${x_2} = 2$ akkor kettő a négyzeten, mínusz három, egyenlő kettő abszolút-érték, mínusz egy azaz $4 - 3 = 2 - 1$, vagyis $1 = 1$ Igaz állításokat kaptunk, tehát mindkét megoldás jó. 2. példa: $\frac{6}{x} = 0, 5x + 2$ (hat per x egyenlő nulla egész öt tized x meg kettő). A bal oldalon egy fordított arányosság függvény, a jobb oldalon egy lineáris függvény van.
Egyenletrendszer megoldása gyorsan és problémamentesen [Mádi Matek] - YouTube