Figyeljük meg, hogy a törtképlet számlálója nem függ attól, épp melyik oldalhoz tartozó magasságot számítjuk: a számláló az paraméterekre nézve teljesen szimmetrikus. Ennek így is kell lennie, hisz ha jobban megnézzük (pontosabban c-vel szorzunk és osztunk 2-vel), a számláló a háromszög területének a négyszerese. Az általános magasságtétel – amely tompaszögű háromszögekre ugyanúgy érvényes, mint a hegyesszögűekre és a derékszögűekre – bizonyítása a Pitagorasz-tételen alapulhat, és egyik fontos matematikai alkalmazását a Hérón-képlet levezetésében találjuk, mely utóbbi bizonyítása az általános magasságtételből tulajdonképp csak annyi, hogy egy új változót vezetünk be (az félkerület et). Lásd még Szerkesztés Hérón-képlet Háromszög magassága Irodalom Szerkesztés Dr. Gerőcs László: Irány az egyetem! – 1995. Példatár. Nemzeti tankönyvkiadó, Bp., 1995. ISBN 9631861880 [E könyvben a Pitagorasz-tételre alapozó bizonyítás is megtalálható. ]
A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének hozzáírt körének a középpontja (a háromszög leghosszabb oldalából származó oldalhoz írva), ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit. A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén. Magasságtétel Szerkesztés A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis. Legyen az derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az ( szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis, ami ekvivalens az állítással.
A háromszög magasságvonalán a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest értjük. A háromszög magasságpontja Magasságpont Szerkesztés A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a magasságpont. Bizonyítás: Az háromszögben az csúcshoz tartozó magasság, -hez tartozó pedig. Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új háromszöget kapunk, amiben,, négyszögek paralelogrammák. Az eredeti háromszög oldalai az háromszög középvonalai, mivel felezőpontja, felezőpontja, felezőpontja pedig. háromszög származtatása miatt az oldalfelező merőlegese, az felezőmerőlegese, pedig -nek. Mivel ezek egy pontban metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást. A magasságpont tulajdonságai Szerkesztés A magasságpont rajta van az Euler-egyenesen A magasságpontot a háromszög oldalainak felezőpontjára tükrözve a képpontok a háromszög köré írt körre illeszkednek Baricentrikus koordinátái: Trilineáris koordinátái: A háromszög magasságainak szeleteinek szorzatára: AM · MT a = BM · MT b = CM · MT c Magasság talppontja és talpponti háromszög Szerkesztés A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal metszéspontja.
Az általános magasságtétel az euklideszi geometria egyik elemi tétele, mely egy háromszög magasságát az oldalak ( négyzetgyök - kifejezést tartalmazó) függvényében adja meg; kimondja, hogy egy háromszög három oldalának ismeretében kiszámítható a háromszög bármelyik magassága. Az általános magasságtételt egyébként a derékszögű háromszögekre vonatkozó magasságtételtől való megkülönböztetés érdekében mondjuk "általánosnak". Például ha a háromszögoldalak, akkor a oldalhoz tartozó magasságot az alábbi tört alakú képlet adja meg: amely mindig értelmes, nem negatív valós szám; tetszőleges számokra ugyanis a háromszög-egyenlőtlenség miatt a gyökjelek alatti kifejezések pozitívak. Hasonlóan lehet a többi oldalhoz tartozó magasságot is kiszámítani, csak a képlet nevezőjében nem a, hanem a megfelelő oldallal kell osztani. Szavakban megfogalmazva, egy háromszög adott oldalhoz tartozó magasságát úgy számíthatjuk ki, hogy a három oldal összegét megszorozzuk az oldalak olyan előjeles összegeivel, melyekben mindig pontosan egy oldal -1, a többi +1 együtthatóval szerepel, az így kapott négytényezős szorzatból négyzetgyököt vonunk, és osztjuk az adott oldal kétszeresével.
Mi is a magasságvonal, ez a háromszög csúcsából a szemközti oldalra bocsátott merőleges egyenes. Tehát, a csúcsból húzzunk egy olyan vonalat, ami az oldallal derékszöget zár be, (90 fokot) A magasság, a csúcs és az oldal távolsága. Sokszor előfordul geometriai feladatokban, Pitagorasz tételének gyakorlásánál stb. Minden oldalhoz tartozik egy magasság, amit általában úgy jelölünk, hogy egy kis m betű, s alsó indexben az oldal, amihez tartozik. Pl. : az a oldalhoz ma magasság tartozik. A magasságvonalak egy pontban metszik egymást, s ez a háromszög magasságpontja. Az ábrákon látszik, hogy a magasságvonal lehet a háromszögön kívül és belül is, s egy csúcspontban is.
Olvasási idő: < 1 perc Magasságpont Egy háromszög magasságvonalán a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest értjük. Minden háromszögben a magasságvonalak egy pontban metszik egymást, és ez a pont a magasságpont. Hegyesszögű háromszög esetén a magasságvonalak M metszéspontja a háromszög belsejében van. Derékszögű háromszög esetén a háromszög magasságpontja a derékszögnél lévő csúcs. Tompaszögű háromszög esetén pedig a magasságpont a háromszögön kívülre esik.
Gyúrjuk össze, de ne legyen túl kemény. Nyújtsuk ki, osszuk három részre, töltsük meg tetszés szerint, és tekerjük fel. A tetejüket kenjük meg tojással, szurkáljuk meg villával, és mehetnek is a sütőbe. Forrás:
/, valamint a tojást a cukorral és a sóval jól összekavarjuk, majd belemorzsoljuk az élesztőt. Fokozatosan hozzáadjuk a lisztet, kb. 60-80 dkg-ot vesz fel. Azonban ne készítsünk túl kemény tésztát! Az elkészült tésztát három részre osztjuk. Megtöltjük a töltelékkel, és feltekerjük, a két végét aláhajtjuk. Megszurkáljuk villával az oldalát és a tetejét is, majd tojással megkenjük. Előmelegített sütőben kb. 180 fokon kisütjük. Még az ünnepek előtt el lehet készíteni, ugyanis folpackba csomagolva sokáig eláll, több napig friss marad. Kelesztés nélküli bejgli szelet. Én már fagyasztottam is le, és amikor kiolvasztottam, ugyanolyan finom volt. A képen látható két szélső bejglibe kis kockákra vágott birsalmasajtot tettem. Nagyon finom volt vele. Tésztához (3 rúd lesz a tésztából): 1 pohár tejföl (2 dl) 1 pohár sertészsír 2 egész tojás 3 evőkanál cukor 1 kávéskanál só 1 csomag élesztő (5 dkg) kb. 60-80 dkg liszt Kenéshez: 1 tojás Mák töltelékhez (3 rúdhoz): 50 dkg mák 40 dkg cukor tej 2 csomag vaníliás cukor Ízesíteni lehet: reszelt citromhéjjal, mazsolával, aszalt gyümölcsökkel, birsalmasajttal.
Hozzávalók: ( 3 rúd lesz a tésztából) 1 pohár tejföl ( 2 dl) 1 pohár sertés zsír ( 2 dl) 2 egész FUCHS SZABADTARTÁSOS TOJÁS 3 evőkanál cukor 1 kávéskanál só 1 csomag élesztő ( 5 dkg) kb 50-60 dkg liszt Kenéshez: 1 FUCHS SZABADTARTÁSOS TOJÁS Mák töltelék ( 3 rúdhoz): 50 dkg mák 40 dkg cukor tej 2 csomag vaníliás cukor Ízesíteni lehet: reszelt citromhéj mazsola aszalt gyümölcsök birsalmasajt Dió töltelék ( 3 rúdhoz): 50 dkg dió Ízesíteni ugyanazokkal lehet, mint a mákost Elkészítése: A tejfölt, a zsírt, a cukrot és a sót összekeverjük, majd belemorzsoljuk az élesztőt és összegyúrjuk a liszttel. Egy nem túl kemény tésztát készítünk, amit három részre osztunk. A tölteléket előre elkészíthetjük. A mákhoz, vagy a dióhoz hozzáadjuk a vaníliás cukrot és egy pici tejet. Kelesztés nélküli bejgli receptje. Ezzel már megtölthetjük a bejglit, vagy még ízesíthetjük a fent felsorolt alapanyagokkal. A tésztából három téglalapot nyújtunk, majd feltekerjük (ne túl szorosra), lekenjük tojással, az oldalát és a tetejét megszurkáljuk villával és már mehet is a sütőbe.
5 g Összesen 27 g Telített zsírsav 3 g Egyszeresen telítetlen zsírsav: 6 g Többszörösen telítetlen zsírsav 16 g Koleszterin 30 mg Ásványi anyagok Összesen 885. 9 g Cink 3 mg Szelén 20 mg Kálcium 357 mg Vas 3 mg Magnézium 96 mg Foszfor 324 mg Nátrium 81 mg Réz 1 mg Mangán 2 mg Szénhidrátok Összesen 71. 8 g Cukor 33 mg Élelmi rost 6 mg VÍZ Összesen 15. 1 g Vitaminok Összesen 0 A vitamin (RAE): 13 micro B6 vitamin: 0 mg B12 Vitamin: 0 micro E vitamin: 3 mg C vitamin: 0 mg D vitamin: 7 micro K vitamin: 1 micro Tiamin - B1 vitamin: 0 mg Riboflavin - B2 vitamin: 0 mg Niacin - B3 vitamin: 1 mg Pantoténsav - B5 vitamin: 0 mg Folsav - B9-vitamin: 71 micro Kolin: 37 mg Retinol - A vitamin: 13 micro α-karotin 0 micro β-karotin 2 micro β-crypt 1 micro Likopin 0 micro Lut-zea 50 micro Összesen 150. Diós, mákos bejglit (kelesztés nélkül azonnal készíthető) sütni – Hogyankell.hu. 1 g Összesen 324. 4 g Telített zsírsav 42 g Egyszeresen telítetlen zsírsav: 73 g Többszörösen telítetlen zsírsav 186 g Koleszterin 360 mg Összesen 10630. 4 g Cink 31 mg Szelén 241 mg Kálcium 4281 mg Vas 35 mg Magnézium 1150 mg Foszfor 3893 mg Nátrium 968 mg Réz 7 mg Mangán 24 mg Összesen 862 g Cukor 400 mg Élelmi rost 69 mg Összesen 181.
Gyúrjuk, nyújtjuk és már süthetjük is. Kelesztés nélkül azonnal készíthető ez az isteni szilvalekváros bejgli Hozzávalók: 1 pohár tejföl ( 2 dl) 1 pohár sertés zsír ( 2 dl) 2 egész tojás 3 evőkanál cukor 1 kávéskanál só 1 cs élesztő ( 5 dkg) kb. 50-60 dkg liszt Kenéshez:1 tojás Töltelékhez: 1 üveg szilvalekvár A fenti mennyiségből 3 rúd lesz. Kimérjük a tejfölt és a szoba-hőmérsékletű sertés zsírt. A tejfölt a zsírt a tojást a cukorral és a sóval jól összekavarjuk, belemorzsolj uk az élesztőt és összegyúrjuk a liszttel. Ne túl kemény tésztát készítsünk. Kelesztés nélküli bejgli angolul. 3 részre osztjuk. Kinyújtjuk a cipókat és megtöltjük a lekvárral. Feltekerjük, de ne túl szorosra. Lekenjük tojással, az oldalát és a tetejét megszurkáljuk villával, és már süthetjük. Előmelegített kb 180 fokos sütőbe tesszük. Ne süssük keményre! Kiss Imréné Magdika receptje (̶◉͛‿◉̶) Értékeld a munkánkat, ha tetszett oszd meg!