A differenciálhányados függvény az x=a helyen is értelmezhető, ha létezik a differenciahányados határértéke, ellenkező esetben nem. A gyakorlatban az elemi függvények levezetéssel kapott deriváltfüggvényeit táblázatból keressük ki, illetve memorizáljuk. Összetett függvények, deriválási szabályok Összetett függvény deriválását célszerű kivülről befelé haladva végezni, azaz először a legkülső függvényt deriváljuk, majd annak belső függvényét, és így tovább. Egyváltozós függvények egyoldali határértékének ki. Ez a láncszabály. Konstans a deriváláskor kiemelhető: Függvények összege, különbsége tagonként deriválható: Függvények szorzatának deriválási szabálya: Törtfüggvény deriválási szabálya: Feladatmegoldás során sose feledkezzünk meg az értelmezési tartomány felírásáról sem! Implicit függvény deriváltja Előfordul, hogy egy feladatban a függvénykapcsolat nem adható meg explicit formában: Példa az explicit megadásra (y kifejezhető): Példa az implicit megadásra (az f(x) függvényt y jelöli, és y nem fejezhető ki): Implicit deriváláskor minden y-t tartalmazó kifejezést összetett függvényként kezelek, pl a fenti példában y deriváltja y', vagy y 2 deriváltja 2y•y': Vegyük észre, hogy többnyire a derivált is implicit alakú!
Differenciahányados Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados: \( \frac{ f(x) - f(x_0)}{ x -x_0} \) Differenciálhányados Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados: \( m= \lim_{x \to x_0}{ \frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \) Ezt nevezzük a függvény $x_0$ pontban vett deriváltjának is. Az érintő egyenlete A derivált geometriai jelentése a függvény grafikonjához húzott érintő meredeksége. Az érintő egyenlete: \( f(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0) \) L' Hôpital-szabály Legyen $f$ és $g$ deriválható az $a$ szám környezetében (kivéve esetleg $a$-ban) és tegyük fel, hogy itt $g'(x) \neq 0 $.
\( f(x)= \begin{cases} 9-x^2, &\text{ha} x<2 \\ 3x-1, &\text{ha} x \geq 2 \end{cases} \) b) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = -3 \) pontban? \( f(x)= \begin{cases} x^4-4x^2, &\text{ha} x<-3 \\ \sqrt{x^2+16}, &\text{ha} x \geq -3 \end{cases} \) c) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban? \( f(x)= \begin{cases} 4x^2-7e^{x-2}-9, &\text{ha} x<2 \\ \ln{ \left( x^3-3x-1 \right)}, &\text{ha} x \geq 2 \end{cases} \) 3. Oldjuk meg az alábbi feladatokat: a) Milyen \( A \) paraméter esetén deriválható az alábbi függvény az \( x_0 = 1 \) pontban? \( f(x)= \begin{cases} \sqrt[4]{\ln{x}+6x+10}, &\text{ha} x>1 \\ \frac{A}{x^2+4}, &\text{ha} x \geq 1 \end{cases} \) b) Megadható-e az \( A \) és \( B \) paraméter úgy, hogy ez a függvény deriválható legyen az \( x_0 = -2 \) pontban? \( f(x)= \begin{cases} Ax^4+4x, &\text{ha} x \leq -2 \\ x^3+Bx^2, &\text{ha} x > -2 \end{cases} \) 4. Oldjuk meg az alábbi feladatokat: \( f(x)= \begin{cases} Ax^4+4x, &\text{ha} x \leq -2 \\ x^3+Bx^2, &\text{ha} x > -2 \end{cases} \) 5.
A könyv a Műszaki Könyvkiadó Bolyai-sorozatának 9. tagja, amelyben a szerzők célja megismertetni az olvasót a matematikai analízis alapfogalmával, a határérték-fogalommal és annak néhány alkalmazásával. A példatár anyagának megértéséhez nincs szükség több előismeretre, mint a középiskolák első három évfolyamának matematikai anyagára. A fejezetek három részre tagolódnak először a legfontosabb definíciókat, tételeket foglalják össze, majd a gyakorló feladatok, végül az önálló megoldásra szánt feladatok következnek. A gyakorló feladatok megfogalmazása után közvetlenül következik a megoldás. Az egyes fejezetekben kitűzött feladatok megoldásai a fejezet végén, egy helyen találhatók meg. A könyvet elsősorban egyetemi és főiskolai hallgatóknak ajánljuk, illetve azoknak a középiskolás diákoknak, akik a reáltudományok terén kívánják folytatni tanulmányaikat. Mutasd tovább
Hitük szerint ugyanis az örökzöld ág, esetleg koszorú vagy fagyöngy a tél gonosz erőinek elűzését segítette a téli napforduló környékén, illetve az azt követő napokban. A keresztény kultúrkörben pedig az örök élet jelképe lett, és így kapcsolódott a Jézust övező ünnepkörhöz. Fotó: A karácsony a 16. században ismét változáson esett át, ugyanis a reformáció hatására az otthonokba is beköltözött a templomi liturgia. A karácsonyfa-állítás elsőként az evangélikusoknál jelent meg, a 18. században már egész Németországban szokás lett, a 19. századra pedig Ausztriában és végül egész Európában elterjedt az örökzöldek tisztelete. Magyarországon a karácsonyfa a német és az osztrák rokoni kapcsolatokkal rendelkező arisztokrata családoknál bukkant fel először. Az 1800-as évek közepére, a reformkor végére már a tehetősebb magyar polgári családoknál is volt karácsonyfa. Jókai Mór 1854-ben megjelent, A koldusgyermek című elbeszélése az első magyar irodalmi mű, amely említést tesz a szokásról. Hogy ki állította fel az első karácsonyfát Magyarországon, arról eltérően számolnak be a feljegyzések.
Az örmény egyház azonban a mai napig ragaszkodik a január 6-i karácsonyhoz. Miután keleten is december 25-én rögzült a karácsony, Jézus keresztelésére mint epifániára (Isten megjelenése) január 6-án emlékeztek. Nyugaton viszont ezen a napon ünnepelték a háromkirályokat, akik felkeresték a gyermek Jézust. A karácsonnyal összekapcsolódó hagyományok így többféle forrásból erednek. A római világban a Saturnalia (dec. 17. ) a vidámság és az ajándékozás napja volt. December 25-ét az iráni isten, Mithra születésnapjának is tartották, akit az Igazságosság Napjának neveztek. A római újévkor (jan. 1. ) a házakat zöld növényekkel és lámpákkal díszítették, a gyerekeknek és a szegényeknek pedig ajándékot adtak. Ezekhez a szokásokhoz járultak a germánok és kelták téli napfordulóhoz kapcsolódó rítusai, amikor a teuton törzsek behatoltak Galliába, Britanniába és Közép-Európába. A magyar karácsony szó szláv eredetű, s szintén a téli napfordulóra utal. Kevesen tudják, honnan ered az ünnep elnevezése. Legvalószínűbb, hogy a korciti - fordul, lép szó származéka, és a téli napforduló örömére, az azt megelőző várakozásra utal.
Mivel a Bibliában nem szerepelt olyan utalás, hogy meg kell ünnepelni a megváltó megszületését, és ahogy utaltunk rá, az evangéliumok sem említik meg Jézus születésének pontos dátumát, egészen a 4. századig az ókeresztény közösségek ezt nem is ünnepelték meg. Csak a 4. században a keresztény egyház római vezetőinek kezdeményezésére alakult ki a karácsony, mint Jézus születésnapjának ünnepe. A római hitvilágban a pogány napistenség megszületését a téli napforduló idejére tették, ami a régi naptár szerint december 25-re esett. A Római Birodalom napistenének (Sol Invictus, azaz a Legyőzhetetlen Nap), a katonák patrónusának születésnapja december 25-én volt. Aurelianus császár (270-275) elrendelte, hogy az egész birodalom területén tartsanak ünnepeket Sol istenség tiszteletére. A keresztény egyház később azzal a magyarázattal olvasztotta be a pogány ünnepbe a karácsonyt, hogy Jézusnak, mint az örök Napnak, az isteni fényforrásnak a születésnapja ez. Az ünnepet tradicionálisan december 24-ről 25-re virradóan napkeltekor tartották meg, ami még a 4. században is szokás volt.
A keresztények szerint ekkor az angyal elmagyarázta Neki, hogy ez a gyermek különleges, ugyanis őt Isten küldte egyenesen a méhébe, és hogy a gyermek neve Jézus lesz. Mária, és József nemsokára összeházasodtak, majd a párnak el kellett utaznia Betlehembe, József szülővárosába, hogy kifizessenek egy speciális adót. Nehéz volt nekik olyan helyre találniuk, ahol meghúzhatták volna magukat, ugyanis rengeteg ember tartózkodott akkor Betlehemben, szintén azért, hogy kifizessék az adóikat. Számos elutasítás után egy fogadós felajánlotta, hogy megszállhatnak az istállójában éjszakára. Ez volt az a hely, ahol Jézus, akit a keresztények Isten fiának tartanak, megszületett, és ahol aztán ruhákba bugyolálták, és a jászolba helyezték. Karácsony története: Pásztorok Pár órával azután, hogy Mária világra hozta Jézust, pásztorok jelentek meg, akik egy Betlehem melletti mezőn voltak, amikor megpillantottak egy különösen ragyogó csillagot Betlehem felett. Sose láttak azelőtt ilyesféle jelenést, aminek a látványa ráadásul csodálatos boldogsággal töltötte el őket.
Ekkor egy angyal jelent meg előttük, aki elmondta nekik a "Jó hírt", vagyis, hogy Jézus megszületett Betlehemben. A pásztorok otthagyták a nyájaikat, hogy elmenjenek Betlehembe, és megtalálják a kisdedet. Amikor elérték az istállót, és megpillantották Jézust, földöntúli öröm töltötte el őket. Térdre ereszkedtek, és magasztalták Őt, majd elmesélték Máriának és Józsefnek, hogy pillantották meg a ragyogó csillagot, és a találkozásukat az angyallal, aki elmondta nekik, hogy Jézus lesz a világ megváltója. Karácsony története: Napkeleti Bölcsek A ragyogó csillagot a Három Napkeleti Bölcs is megpillantotta keleten. A Bölcs, aki a csillagokat tanulmányozta, tudta, hogy a csillag egy új, csodás uralkodó eljövetelét hirdeti. Két társával elindult, hogy megtalálja az új uralkodót. Először Heródes királyt látogatták meg Jeruzsálemben, mert azt hitték, hogy a gyermek abban a palotában született meg. Ám, amikor megkérdezték, láthatnák-e a gyermeket, aki majd az új uralkodóvá fog válni, Heródes királyt aggodalom töltötte el, félt, hogy eltávolíthatják a trónjáról.