Mi is az a hiperbola? Nézzük egy egyszerűbb példát! Ha kétszer annyian leszünk, fele annyi idő alatt végzünk. Ha háromszor annyian, akkor harmadannyi idő alatt. Gyakran hallunk ehhez hasonló ötletet. Ez nem más, mint a fordított arányosság. Ha két mennyiség fordítottan arányos, és az egyik mennyiség valahányszorosára változik, akkor a másik mennyiség annak reciprokszorosára változik. Ekkor a két mennyiség szorzata állandó. Például ha az egyik a háromszorosára nő, akkor a másik a három reciprokszorosára változik, azaz $\frac{1}{3}$-ra (egy harmadára) csökken, és ha eredetileg x és y volt a két mennyiség, amelynek szorzata $x \cdot y$, akkor most a $3x \cdot \frac{1}{3}y$ is $ = x \cdot y$. Ha ezt az összefüggést ábrázoljuk, akkor egy hiperbola képét kapjuk, amely jól szemlélteti, hogy ha az egyik mennyiség nő, akkor a másik csökken. Nézzük meg tehát a fordított arányosság függvény alapesetének a megadási módját, amely egyben az elsőfokú törtfüggvény alapesete is. A képlete $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ vagy $y = \frac{1}{x}$ (ef iksz egyenlő egy per iksz $Y = \frac{1}{x}$ Mivel a kifejezés nevezőjében változó érték szerepel, ezért ki kell kötni, hogy x nem lehet 0, de minden más érték lehet.
Előzetes tudás Tanulási célok Narráció szövege Kapcsolódó fogalmak Ajánlott irodalom Ehhez a tananyagegységhez ismerned kell a függvények tulajdonságait, a derékszögű koordináta-rendszert, a számpárok ábrázolását és tudnod kell tájékozódni a koordináta-rendszerben. Ismerned kell továbbá a függvények megadási módjait, ábrázolását és tulajdonságait, illetve jellemzését. A tanegység elsajátítása után ábrázolni és jellemezni tudod majd a különböző megadási módú fordított arányosság függvényt. Hasonló feladatokban felismered majd a fordított arányosság összefüggést. Ha beírod a wikipédiába Isaac Newton nevét, a következő összefoglalót kapod: XVII–XVIII. századi angol fizikus, matematikus, csillagász, filozófus és alkimista; a modern történelem egyik kiemelkedő tudósa. Ő volt az első, aki megmutatta, hogy az égitestek és a Földön lévő tárgyak mozgását ugyanazon természeti törvények határozzák meg. Matematikai magyarázattal támasztotta alá Kepler bolygómozgási törvényeit, kiegészítve őket azzal, hogy a különböző égitestek nemcsak elliptikus, hanem akár hiperbola- vagy parabolapályán is mozoghatnak.
Az egyenesvonalú egyenletes mozgásnál az út és az idő egyenesen arányos, és az állandó hányados a sebesség. Ha az egyenesen arányos mennyiségeket koordináta rendszerben ábrázoljuk, akkor az összetartozó értékeknek megfelelő pontok egy, az origón áthaladó egyenesen vannak. A feladatok megoldásánál rendszerint a mennyiségek természetéből fakad, hogy köztük egyenes arányosság van, és ezt alkalmazva kereshetjük meg az összetartozó értékeket az egyenes arányosság definíciója alapján. Ezért fontos, hogy mutassunk a gyerekeknek egyenesen arányos és nem egyenesen arányos mennyiségeket. Két változó mennyiséget fordítottan arányos nak nevezünk, ha ahányszorosára változik az egyik mennyiség, ugyanannyiad részére változik a másik mennyiség. A fordított arányosság alkalmazására tipikus feladat a mértékegységváltás. Példa: Ha az osztály farsangra készült szörpöt 2 dl-es poharakba töltjük, akkor 30 pohár lesz tele. Hány pohár lesz tele, ha a másfél dl-es poharakba töltjük a szörpöt. Megoldás: Egy pohár űrtartalma, és a poharak száma fordítottan arányos.
A fenti egyenlettel egyenértékű a következő xy = a. Jelentése: a változók értékeinek szorzata állandó. Ha pl. az adott a területű téglalapok egyik oldalát változtatjuk, akkor a vele szomszédos oldalak hossza a fordított arányosság törvénye szerint változik. Példánkban a, x és y is csak pozitív lehet. Ábránk az a = 24 esetet mutatja. A függvény grafikonja egy hiperbola egyik ága. Szerkesztette: Lapoda Multimédia Kapcsolódás függvény változó állandó érték terület téglalap oldal törvény hiperbola ág Maradjon online a Kislexikonnal Mobilon és Tableten is
Elegánsabb a másodfokú függvény grafikonjának ábrázolása a transzformációs szabályok felhasználásával. Ennek az a hátránya, hogy a függvényben szereplő kifejezést teljes négyzetté kell alakítani. Ábrázoljuk az f(x) = x 2 - 4x + 6 függvény grafikonját, majd jellemezzük! Néhány értékpár értéktáblázatban: 4 5 6 7 y = x 2 -4x+6 27 18 11 Jellemzése: É. : valós számok halmaza É. : y ≥ 2 valós számok Ha x ≤ 2, akkor szigorúan monoton csökkenő Ha x ≥ 2, akkor szigorúan monoton növekvő Zérushely: nincs.
f(x) = c / x, ahol x, c, f(x) R, s x ¹ 0, c ¹ 0, f(x) ¹ 0. A fggvny grafikonjt hiperbol nak nevezzk. 1/6 anonim válasza: Ha pl a töréspont (a;b) és a meredekség m, akkor f(x)=-m*abs(x-a)+b jan. 10. 08:26 Hasznos számodra ez a válasz? 2/6 anonim válasza: jan. 09:32 Hasznos számodra ez a válasz? 3/6 A kérdező kommentje: [link] Erre gondoltam konkrétan. 4/6 anonim válasza: 100% Nincs odaírva, hogy írd fel az egyenletét. És ez nem is abszolútérték függvény, csak két egyenes összehegesztve. Azt kérdezi, hogy hol nem differenciálható. Ott, ahol törik a függvény. Jobb és bal derivált a két egyenes meredeksége, ami leolvasható az ábráról. jan. 10:09 Hasznos számodra ez a válasz? 5/6 anonim válasza: jan. 10:24 Hasznos számodra ez a válasz? 6/6 anonim válasza: A függvény hozzárendelési szabályát f(x)=a*abs(x-1)+b*x+c alakban érdemes keresni, hiszen 1-nél töréspont van. Ha x>=1, akkor a*x-a+b*x+c = 4-2x (az ábra alapján) (a+b)*x-a+c=4-2x Ha x<1, akkor -a*x+a+b*x+c = 1/2*x+3/2 (az ábra alapján) (b-a)*x+a+c = 1/2*x+3/2 Ezek alapján a megoldandó egyenletrendszer: a+b = -2 -a+c = 4 b-a = 1/2 a+c = 3/2 __________ Innen adódnak az együtthatók.