1. A definíció felhasználásával belátjuk az állítást az első náhány konkrét n értékre: a 2 =a 1 ⋅q definíció szerint. a 3 =a 2 ⋅q a definíció szerint, de felhasználva az a 2 -re kapott kifejezést: a 3 =a 1 ⋅q 2. 2. Indukciós feltevés: Feltételezzük, hogy n olyan index, amire még igaz: a n =a 1 ⋅q n-1. Ilyen az 1. pont szerint biztosan van. 3. Ezt felhasználva, bebizonyítjuk, hogy a rákövetkező tagra is igaz marad, azaz: a n+1 =a 1 q n. Tehát azt, hogy a tulajdonság öröklődik. Definíció szerint az n-edik tag után következő tag: a n+1 =a n ⋅q. Itt a n helyére behelyettesítve az indukciós feltételt: a n+1 =(a 1 ⋅q n-1)⋅q. Egyszerűbben: a n+1 =a 1 q n. Ezt akartuk bizonyítani. A mértani sorozat tagjainak összege Állítás: Mértani sorozat első n tagjának összege: \( S_{n}=\frac{a_{1}·\left(q^n-1\right)}{q-1} \; q≠1 \) . Írjuk fel az első n tag összegét tagonként: S n =a 1 +a 2 +a 3 +…+a n-2 +a n-1 +a n. Majd felhasználva az n-edik tagra fent bizonyított képletet: 1) S n =a 1 +a 1 ⋅q+a 1 ⋅q 2 +…+a 1 ⋅q n-3 +a 1 ⋅q n-2 +a 1 ⋅q n-1.
A végtelen mértani sor általánosítása a Neumann-sor. Ha az összeg első eleme, akkor A mértani sorra vonatkozó összegképlet deriválásával tetszőleges variánsok összegképleteit kaphatjuk meg (természetesen azok is csak esetén konvergálnak). Ebből könnyedén felírható, hogy Deriválással hasonlóan számítható, hogy Mivel a végtelen mértani sorok konvergálnak bizonyos feltételek mellett, így több egyszerűen alkalmazható konvergenciatesztnek is alapját képezik, mint pl. a gyök-teszt vagy a hányados-teszt. Geometriai hatványsor [ szerkesztés] Az összegfüggés értelmezhető az kifejezés Taylor-soraként is, amely esetén konvergens. Ebből aztán további hatványsorokat lehet előállítani. A kapott formula esetén is konvergál, a határértéke pedig. Ezen összefüggés a híres Leibniz-féle sor. A fenti összefüggés a híres Mercator-sor, amely esetén is konvergens, ebből adódik a sokak által ismert feltételesen konvergens sorbafejtése:. A mértani sorozat első n tagjának szorzata [ szerkesztés] Írjuk fel tényezőnként ezt a szorzatot:.
Ha a mértani sorozat konstans, azaz q =1, vagy c 1 =0, illetve =0, akkor a sorozat monoton és konvergens. Ha a mértani sorozat nem konstans ( q ≠1 és c 1 ≠0), akkor a következő esetek vannak:
1. Ha q>1 és c 1 >0, akkor a mértani sorozat szigorúan monoton nő, alulról korlátos. A legnagyobb alsó korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben divergens. 2. Ha q>1 és c 1 <0, akkor a mértani sorozat szigorúan monoton csökkenő, felülről korlátos. A legkisebb felső korlát a sorozat első tagja. A mértani sorozat ebben az esetben divergens. 3 Ha 0
Parasztháború és a mohácsi vész 30 A mohácsi csata a forrásokban (Forráselemzés) 32 8. Az ország három részre szakad 33 Összefoglalás 35 Az újkor kezdetén 36 9. A nagy földrajzi felfedezések 38 10. Amerika őslakói: az indiánok 41 A tűzfegyverek megjelenése (Olvasmány) 44 11. A világgazdaság kialakulása 46 12. A vallás megújulása 49 13. A spanyol világbirodalom és Németalföld 52 14. A tengerek királynője, Anglia 55 Élet a tengereken (Olvasmány) 58 15. Tanári segítséggel az osztály közösen oldja meg! Gondolkodtató feladat. Fogj hozzá bátran! Ha elakadsz, kérd a tanárod segítségét! KÖNYVAJÁNLÓ MS-2636 1 480 Ft MS-4115 1 200 Ft CR-0142 1 200 Ft MS-2306 1 640 Ft MS-2347U 1 390 Ft MS-2364U 1 080 Ft MS-2605U 1 340 Ft MS-3180 3 180 Ft MS-2336 1 180 Ft MS-3756 1 360 Ft MS-4105U 1 740 Ft Rendezés: A nagy francia forradalom 124 30. Mozaik történelem 6 turkce. Napóleon, Európa ura 127 Napóleon élete (Olvasmány) 130 31. Az ipari forradalom 132 32. Az ipari forradalom társadalmi következményei 135 A kapitalizálódó világ mindennapjai (Olvasmány) 137 33.
Ez a cikk több mint 1 éve frissült utoljára. A benne lévő információk elavultak lehetnek. 2020. ápr 16. 8:10 Történelem óra Videosuli sorozatunk mai, hatodikosoknak szóló órája: Történelem. A videó alatti linken a megszerzett tudásodat is tesztelheted! A reformáció a 16. században egész Magyarországon elterjedt. A reformáció pótolhatatlan hatást váltott ki a magyar nyelvű kultúra elterjedésében. Míg a katolikus templomokban továbbra is latin nyelven folyt az istentisztelet, a reformáció hívei magyarul prédikáltak és írtak. Mozaik történelem 6.1. A reformáció fölismerte a nyomtatott betű fontosságát. Előmozdította a nyomdák alapítását. A katolikus egyház nem nézte tétlenül a reformáció terjedését. A 17. század első felében visszaállította tekintélyét, s rövid idő alatt többségbe került a magyarországi vallások között. Ebben hathatós támogatást kapott a Habsburg uralkodóktól. Itt tesztelheted tudásodat! Videotanár Videosuli - 6. osztály Videosuli - történelem
A forradalmak kora 140 Összefoglalás 143 REFORMKOR, FORRADALOM ÉS SZABADSÁGHARC 34. A reformkor 146 35. Széchenyi István, a reformok első megfogalmazója 149 36. Kossuth Lajos, a nemes pályatárs 152 37. Mozaik 6 Osztály Történelem Tankönyv Pdf. A változó társadalom és életmód 154 Az árvízi hajós (Olvasmány) 157 38. Magyarország az átalakulás kapujában 158 39. Az áprilisi törvények és a Batthyány-kormány működése 161 40. Önvédelmi háború és szabadságharc 164 Huszárok a szabadságharcban (Olvasmány) 167 41. Vereség és megtorlás 169 Arad, a "magyar Golgota" (Olvasmány) 172 Komárom, a bevehetetlen erőd (Olvasmány) 174 Összefoglalás 175 Függelék 176