Legyen ezután Q az ekvivalenciaosztályok halmaza, más szóval azonosnak tekintjük az ( a, b) és a ( c, d) párt, ha ekvivalensek. (Ez a konstrukció elvégezhető minden integritástartomány esetében, lásd hányadostest. ) Az így kapott számok halmazán a teljes rendezés is definiálható: Tulajdonságok [ szerkesztés] A racionális számok halmaza () az összeadás és a szorzás műveletével testet alkot. Ez a test az egész számok () hányadosteste. A racionális számok halmaza a legszűkebb 0 karakterisztikájú test. Minden egyéb 0 karakterisztikájú test tartalmazza a racionális számok testének egy izomorf képét. A racionális számok algebrai lezártja (azaz a racionális együtthatós polinomok gyökeit is tartalmazó legszűkebb test) az algebrai számok halmaza. A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, vagyis sorozatba rendezhető. Mivel a valós számok számossága ennél nagyobb, így mondhatjuk, hogy a valós számok túlnyomó többsége irracionális. A racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke nulla.
A matematikában racionális szám nak ( hányados- vagy vegyes-törtszám nak) nevezzük két tetszőleges egész szám hányadosát, amelyet többnyire az a / b alakban írunk fel, ahol b nem nulla. Egy racionális számot végtelen sok alakban felírhatunk, például. A legegyszerűbb, azaz tovább nem egyszerűsíthető alak akkor áll elő, amikor a és b relatív prím. Minden racionális számnak pontosan egy olyan tovább nem egyszerűsíthető alakja van, ahol a nevező pozitív ( irreducibilis tört). A racionális számok tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos (tehát a felírásban egy ponton túl a számsorozat periodikusan ismétlődik). Ez az állítás nem csak a tízes-, hanem tetszőleges, egynél nagyobb, egész alapú számrendszerben való felírásra igaz. A tétel fordítottja is igaz: ha egy szám felírható véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban, akkor az racionális szám. Azokat a valós számokat, amelyek nem racionálisak, irracionális számoknak nevezzük. A racionális számok halmazát tipográfiailag kiemelt Q (vagy) betűvel jelöljük (a latin quotiens (hányszor?
Sokféle számot, és a velük végezhető műveleteket megismertünk már. Ezeket a számokat racionális számoknak nevezzük. Kicsit pontosabban a meghatározásuk: Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosakét, racionális számoknak nevezzük (az osztó nem nulla). A két egész szám hányadosa pedig a törtalakot jelenti. Példák: Egész számok: 5 = 10/2 (a 10 és a 2 egész számok hányadosa) -3 = -9/3 (a -9 és a 3 egész számok hányadosa). Véges tizedestörtek: 6, 097 = 6097/1000 Tiszta szakaszos tizedestörtek: 0, 11111..... = 1/9 Vegyes szakaszos tizedestörtek: 0, 166666... = 1/6 Az ilyen számok az elemei a racionális számok halmazának. Ennek a halmaznak van egy betűjele: Q.
További gond, hogy az egész számok is felírhatóak törtek alakjában, ráadásul végtelen sokféle módon (pl. 2= 2/1 = 4/2 = 6/3 =... ), tehát algebrai, formális értelemben az egész számok is tekinthetőek "törteknek" v. "törtszámoknak" (habár nem tekintjük őket annak). Másrészt (és a például adott egyenlőségeket a másik oldaláról nézve), a törtek értéke is lehet egész szám. Tehát a "tört" fogalom nem eléggé precíz, amennyiben olyankor kell használni, amikor a cél a számok nem egész voltának kihangsúlyozása. Ezért szükséges a pontosabb "törtszám" kifejezés használata. A matematika több ágában, így pl. a diofantikus approximációk elméletében, ugyanakkor sok esetben kényelmesebb az egészekről és a törtszámokról egy kifejezéssel beszélni, őket egy kategóriába sorolni (az egészek és a törtszámok között sokkal kisebb az elméleti törés, sokkal több a hasonlóság, mint a törtek és az irracionális számok között). Így szükség van egy olyan kifejezésre, ami alá az egészek és a törtszámok is tartoznak, viszont kifejezések, függvények stb.
minden alapműveletre működik kivéve a negatívból való gyökvonást. Komplex számok halmaza Definíció ℂ { a+b*i | a, b eleme R-nek, i=\sqrt{-1}} ( i = \sqrt{-1} – imaginiárius egység, tehát \sqrt{-20} = \sqrt{20} * \sqrt{-1}= \sqrt{20} * i) a komplex számokat koordináta rendszerben ábrázoljuk, nem számegyenesen. a+b*i, forma 0-val való osztás esetére a komplex számok bővíthetőek +\infty, -\infty - re N \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R \subseteq C Halmazok számossága Egy véges halmaz számosságán elemeinek számát értjük. Jelölés: H halmaz számossága: Egy halmazt véges halmaznak nevezünk, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, amivel ugyanakkora a számossága (ekvivalens lenne). A nem véges halmazokat végtelennek nevezzük. Két típusú végtelen lehet: megszámlálhatóan végtelen: alef zéró nem megszámlálhatóan végtelen: kontinuum számosság Kontinuum-sejtés: Nem létezik olyan halmaz amelynek számossága az alef zéró és a kontinuum végtelen közé esik. Halmazelmélet ma létező legjobb axiómarendszere szerint a kontinuum sejtést sem bebizonyítani, sem megcáfolni nem lehet.
Ha az így kapott szám osztható 7-tel akkor az eredeti is. Ha még az így kapott számról sem tudjuk megállapítani, hogy osztható-e 7-tel, akkor ugyanezt a tendenciát kell folytatni amíg olyan számot nem kapunk amiről biztosan meg tudjuk állapítani, hogy osztható 7-tel. Pl. : 315 → 31-(2*5)=21. 21 osztható 7-tel, tehát 315 is. Azok a számok oszthatók 8-cal, amelyeknek az utolsó három számjegyéből képzett háromjegyű szám is osztható 8-cal. Azok a számok oszthatók 9-cel, amelyeknek számjegyeinek összege is osztható 9-cel. Azok a számok oszthatók 10-zel, amelyeknek utolsó számjegye is osztható 10-zel, magyarul 0-ra végződik. 11-gyel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonom az utolsó számjegyet. Ha az így kapott szám osztható 11-gyel, akkor az eredtei is. Ugyanúgy mint a 7-tel való oszthatóságnál itt is lehet ismételni ezt a folyamatot, ha még mindig megállapíthatatlan az oszhatóság. Pl. : 5258 → 525-8=517 → 51-7=44 44 osztható 11-gyel, tehát 5258 is.
Érzékelhetjük, hogy a kisebb, specifikusabb csoportokban könnyebb az együttműködés, és hatékonyabb a munkamorál – de miért van ez? - Teljes cikk! Volt egy kísérletsorozat az 1920-as években az Egyesült Államokban, Chicago közelében, amely alapjaibanváltoztatott a munkahelyek atmoszféráján. HAON - Az emberi kapcsolatok fontossága. A Western Electric hawthorne-i üzemében olyan reformok kezdődtek meg, amelyek a munkavégzés hatékonyságának kezdetben megmagyarázhatatlan javulását okozták. Az első csoportoknál a fényviszonyok megváltoztatásával kísérleteztek, és az eredmények igencsak meglepték az üzem vezetőit. A munkacsoportok teljesítménye folyamatosan javult attól függetlenül, hogy a fényviszonyokon rontottak-e vagy javítottak. A munkaminőség állandó növekedése csak akkor állt meg, amikor már nem lehetett látni, de addig a fényerő nem bírt rá befolyással. A kontrollcsoportnál pedig nem is változtattak semmit a fényerőn, mégis minden dolgozó eredményessége javulásnak indult. Ekkor döbbentek rá a kísérletvezetők arra, hogy a világításon kívül valami más is lehet a háttérben, a magyarázatok megkereséséhez pedig a Harvard Business School kutatóját, Elton Mayót hívták segítségül.
Nem hangzik soknak a 6%? Nyugaton végzett kutatások szerint kétmillió forintnyi extra bevétel mintegy 2%-kal növeli a boldogságszintet. Tehát egy távoli jókedvű barát-barátja több hatással van a boldogságunkra, mint egy adag pénz. Christakis és Fowler kutatók tovább vizsgálták, miből ered ez a hatás. Szerintük a boldog emberek "megfertőzik egymást" a jó hangulatukkal, és ráadásul még sok egyéb formában is megosztják az örömüket: anyagi és egyéb segítséget nyújtanak, meghívják a kapcsolati köreikbe tartozókat egy italra, és mindenféle más jótettet visznek végbe, ami örömet okoz másoknak. Akik aztán boldogabbak lesznek – és majd ők is továbbadják ezeket a jókedvre derítő dolgokat. Ez a kapcsolat-hálózati hatás nemcsak a ciginél és a boldogságnál, hanem még például a testsúlyunkra is igaz. A kommunikáció fontossága a párkapcsolatban - Felnőtt Társasjáték. A túlsúlyosaknak Christakis és Fowler szerint gyakrabban vannak elhízott barátaik és a barátaik barátai is nagyobb súllyal rendelkeznek. Ez a tudósok szerint egyrészt a viselkedés-másolás következménye: ha olyannal ülünk egy asztalnál, aki sokat eszik, mi is – öntudatlanul – többet fogyasztunk el.
Így alakulnak ki pozitív-kapcsolatok (Szókratész és tanítványa), és a negatív kapcsolatok (bűnözők közt), mert a hasonló a hasonlót vonzza. Mi az oka, hogy vannak emberek, akiknek nincsenek barátai? A válasz több tényezőre vezethető vissza: előfordulhat, hogy túlságosan zárkózottak ahhoz, hogy valakit is elfogadjanak, az én-központúság, szegényes az érzelmi energiája, neurózis vagy egyszerűen kevés a szabad ideje. A barátság legfőbb jellemzői a kölcsönösség, az egymást kiegészítő hasonlóságok és eltérések, az őszinteség, a hűség és az érdekmentesség. "Valami érthetetlen kapcsolat van a barátság és a csillag között. Miért csillag a barát? És miért barát a csillag? Mert olyan távol van, és mégis bennem él? Mert az enyém, és mégis elérhetetlen? Mert az a tér, ahol találkozunk nem emberi, hanem kozmikus? Okostankönyv. Mert nem kíván tőlem és én sem kívánok tőle semmit? Csak azt, hogy legyen, és így, ahogy van; és ő van, és én vagyok, ez kettőnknek tökéletesen elég? Nem lehet rá válaszolni. Nem is kell. De, ha nem is lehet, barátom iránt mindig azt fogom érezni, hogy csillag, a világegyetemnek rám ragyogása. "
Sok olyan ismerőssel vagy baráttal találkozhatunk, akik rendkívül szociálisak és rengeteg barátjuk van. Viszont ne felejtsük el, hogy a társas kapcsolatoknak nem a száma, hanem a minősége számít. Lehet nekünk ötven barátunk, hogyha problémánk van vagy bajban vagyunk, egyik sem figyel ránk, és nem hallgat nem. Fontos, hogy baráti kapcsolataink mélyek legyenek, hiszen a legnagyobb támaszt tudják nyújtani a családunk mellett. Komoly stresszoldó hatása van A barátokkal való időtöltés, egy hosszú, éjszakába nyúló beszélgetés terápiás hatással lehet ránk, és stresszoldóként is funkcionál. Ha figyelmünk ezer felé oszlik, és ki sem látunk teendőinkből, akkor se felejtsünk el időt szakítani családtagjainkra és barátainkra. Lehet éppen nekik van ránk szükségük. Viszont ha új barátokat akarunk szerezni és minőségi kapcsolatokat kialakítani, azt is el kell kezdeni valahol. Nyitottnak kell lenni és kezdeményezőnek, majd egy idő után el lehet dönteni, mennyire vagyunk egy értékrenden az illetővel, és eldönteni milyen irányba sodorjuk kapcsolatunkat.
A konferenciára február 16-án és 17-én kerül sor a római Gemelli klinikán, és műholdas közvetítés segítségével a világ 20 városában is figyelemmel kísérhető lesz. A tanácskozás címe: "Kommunikáció és kapcsolatok az egészségügyben: az orvosi etikett új perspektívái", célja pedig, hogy stratégiákat és kulturális irányvonalakat kínáljon fel, amelyek a kapcsolatokban többet jelentenek az egyszerű tiszteletnél, és a testvériség lelkületével közelítenek a pácienshez. A kongresszuson – amelyet a Fokoláre Mozgalom lelkiségéből táplálkozó "MDC – Medicina Dialogo Comunione" (Orvostudomány Párbeszéd Közösség) nevű szervezet kezdeményezett – az orvostudomány számos területe képviselteti magát, a járványtantól az AIDS-betegek kezelésén át az onkológiáig. Kurír Kép:
Válasszatok hozzá egy nyugodt estét, és készüljetek fel a komolyabb kérdéseket is feszegető beszélgetésre. Szeretnéd te is játékossá tenni az őszinte beszélgetéseket? Nézz bele a Páros játszma társasjáték kártyáiba!